О разрешимости линейных дифференциальных операторов на векторных расслоениях над многообразием

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Только для подписчиков

Аннотация

Установлено необходимое и достаточное условие для замкнутости образа или сюрьективности дифференциального оператора, действующего на гладких сечениях векторных расслоений. Для связных некомпактных многообразий показано, что эти условия выводятся из условий регулярности и свойства единственности продолжения решений. Приведено приложение этих результатов к эллиптическим операторам (точнее, к операторам с сюрьективным главным символом) с аналитическими коэффициентами, к эллиптическим операторам второго порядка на линейных расслоениях с вещественной старшей частью и к оператору Ходжа--Лапласа--де Рама. Показано, что старшая группа когомологий де Рама (соответственно Дольбо) на связном некомпактном гладком (соответственно комплексно-аналитическом) многообразии обнуляется. Для эллиптических операторов доказано, что разрешимость в гладких сечениях влечёт за собой разрешимость в обобщённых сечениях.

Об авторах

М. С. Смирнов

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова;Институт вычислительной математики имени Г.И. Марчука РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: matsmir98@gmail.com
Москва, Россия

Список литературы

  1. Sagraloff B. Normal solvability of linear partial differential operators in $C^\infty(\Omega)$ // Geometrical Approaches to Differential Equations. Lect. Not. in Math. 2006. V. 810. P. 290-305.
  2. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов. М., 1986.
  3. Duistermaat J.J., H"ormander L. Fourier integral operators. II // Acta Math. 1972. V. 128. № 3-4. P. 183-269.
  4. H"ormander L. Propagation of singularities and semiglobal existence theorems for (pseudo)differential operators of principal type // Ann. of Math. 1978. V. 108 (3). № 2. P. 569-609.
  5. Hounie J. A note on global solvability of vector fields // Proc. Amer. Math. Soc. 1985. V. 94. № 1. P. 61-64.
  6. Rauch J., Wigner D. Global solvability of the Casimir operator // Ann. of Math. 1976. V. 103. № 2. P. 229-236.
  7. Helgason S. Solvability of invariant differential operators on homogeneous manifolds // Centro Internaz. Mat. Estivo. 1975. P. 281-310.
  8. Ara\'ujo G. Regularity and solvability of linear differential operators in Gevrey spaces // Math. Nachr. 2018. V. 291. № 5-6. P. 729-758.
  9. Bunke U., Olbrich M. Gamma-cohomology and the Selberg zeta function // J. Reine Angew. Math. 1995. V. 467. P. 199-219.
  10. Rinehart L. Elliptic operators on non-compact manifolds have closed range // https://arxiv.org/abs/ 2203.07534.
  11. Kazdan J.L. Unique continuation in geometry // Comm. Pure Appl. Math. 1988. V. 41. № 5. P. 667-681.
  12. Grosser M., Kunzinger M., Oberguggenberger M., Steinbauer R. Geometric Theory of Generalized Functions with Applications to General Relativity. Dordrecht, 2001.
  13. Grubb G. Distributions and Operators. New York, 2009.
  14. Шефер Х. Топологические векторные пространства. М., 1971.
  15. Palais R.S. Seminar on the Atiyah-Singer Index Theorem. Princeton, 1965.
  16. Уэллс Р. Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. М., 1976.
  17. Шубин М.А. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М., 2005.
  18. Antoni\'c N., Burazin K. On certain properties of spaces of locally Sobolev functions // Proc. of the Conf. on Appl. Math. and Sci. Comp. Dordrecht, 2005. P. 109-120.
  19. Aronszajn N. A unique continuation theorem for solutions of elliptic partial differential equations or inequalities of second order // J. Math. Pures. Appl. 1957. V. 36. № 9. P. 235-249.
  20. Munkres J.R. Topology. Upper Saddle River, 2000.
  21. Kriegl A., Michor P.W. The Convenient Setting of Global Analysis. Providence, 1997.
  22. Petrowsky I.G. Sur l'analyticit\'e des solutions des syst\'emes d'\'equations diff\'erentielles // Rec. Math. N. S. 1939. V. 5. № 47. P. 3-70.
  23. Форстер О. Римановы поверхности. М., 1980.
  24. Smirnov M. On the rate of polynomial approximations of holomorphic functions on convex compact sets // Complex Anal. Oper. Theory. 2023. V. 17. Art. 129.
  25. Lee J.M. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Math. V. 218. New York, 2013.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать

© Российская академия наук, 2023