Эффективность метода Монте-Карло для численного интегрирования

Полный текст

Обоснование. Численное интегрирование является важной задачей в прикладной математике и вычислительной математике. Среди численных методов, особое место занимает метод Монте-Карло благодаря своей универсальности и простоте реализации. Однако эффективность этого метода во многом зависит от выбранных алгоритмов и параметров, таких как объем выборки и применяемые методы уменьшения дисперсии [1, 2]. В связи с этим проведено исследование по определению оптимальных параметров и оценка эффективности различных методов Монте-Карло в контексте численного интегрирования.

Цель — оценка эффективности метода Монте-Карло при приближенном вычислении определенного интеграла $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$ с различным количеством испытаний N, а также сравнение различных методов уменьшения дисперсии [1]. В частности, планировалось определить зависимость точности приближения от объема выборки, а также выявить наиболее эффективные алгоритмы для повышения точности.

Методы. Исследование осуществлялось путем проведения численных экспериментов с использованием классического метода Монте-Карло и его вариантов: простейшего метода, геометрического метода, метода выделения главной части, метода существенной выборки, симметризованной оценки и двухгрупповой выборки.

Результаты. Были проведены серии вычислений с объемом выборки N = 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, после чего были зафиксированы оценки интеграла, ошибки и дисперсии. Кроме того, использовалась статистическая обработка полученных данных для выявления закономерностей.

Выводы. Результаты показали, что при увеличении числа испытаний ошибки вычисления ведут себя как O(N^–1/2). Эффективными оказались методы уменьшения дисперсии, такие как симметризация, выделение главной части и двухгрупповая выборка, которые обеспечивали наиболее низкую дисперсию и более точные оценки за счет снижения вариации. Снижение объема выборки приводит к значительным потерям в точности, увеличивая ошибку и дисперсию оценки, однако даже при небольшом N = 10² можно получить быстрый, приближенный результат, пригодный для предварительных оценок.

Исследование подтверждает, что метод Монте-Карло является эффективным инструментом для численного интегрирования. Для практических задач рекомендуется балансировать между размером выборки и используемыми методами оптимизации: при необходимости быстрого приближения с умеренной точностью можно использовать малые N, а для получения высокой точности — значительно увеличить число испытаний и применять более сложные варианты метода Монте-Карло.

Об авторах

Алёна Александровна Гриднева

Самарский государственный технический университет

Email: gridnevaalyona@gmail.com

студентка, группа 2-ИАИТ-23ИАИТ-110, институт автоматики и информационных технологий

Россия, Самара

Полина Александровна Фролова

Самарский государственный технический университет

Автор, ответственный за переписку.
Email: polinafrlv@gmail.com

студентка, группа 2-ИАИТ-23ИАИТ-110, институт автоматики и информационных технологий

Россия, Самара

Список литературы

Дополнительные файлы