Гашение продольных колебаний упругого стержня с помощью пьезоэлектрического элемента

Обложка

Цитировать

Полный текст

Открытый доступ Открытый доступ
Доступ закрыт Доступ предоставлен
Доступ закрыт Доступ платный или только для подписчиков

Аннотация

Исследуется возможность гашения продольных колебаний тонкого однородного упругого стержня при воздействии на него нормальной силы в поперечном сечении. Эта переменная во времени сила, которая может возбуждаться, например, с помощью пьезоэлектрических элементов, однородно распределена по длине на заданном сегменте консольно закрепленного стержня и равна нулю вне его. Представлены такие расположения концов сегмента, при которых возбуждаемая сила не влияет на амплитуду определенных мод. Найдено минимальное время, за которое можно погасить колебания всех остальных мод, и на основе метода Фурье построен в виде ряда соответствующий закон изменения демпфирующей силы. Дана обобщенная формулировка краевой задачи о переводе стержня за это время в нулевое терминальное состояние, для которой предложен алгоритм точного решения в случае рациональных соотношений на геометрические параметры. Неизвестные функции состояния стержня ищутся в виде линейной комбинации функций бегущих волн и нормальной силы, которые определяются из линейной системы алгебраических уравнений, следующих из граничных соотношений и условий непрерывности. Проведено сравнение решений, полученных в рядах методом Фурье и в виде бегущих волн Даламбера.

Полный текст

Доступ закрыт

Об авторах

Г. В. Костин

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Автор, ответственный за переписку.
Email: kostin@ipmnet.ru
Россия, Москва

Список литературы

  1. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 474 с.
  2. Lions J.L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. New York: Springer, 1971. 400 p.
  3. Черноусько Ф.Л., Ананьевский И.М., Решмин С.А. Методы управления нелинейными механическими системами. М.: Физматлит, 2006. 328 с.
  4. Chen G. Control and stabilization for the wave equation in a bounded domain. II // SIAM J. Control Optim. 1981. V. 19. № 1. P. 114–122.
  5. Романов И.В., Шамаев А.С. О задаче граничного управления для системы, описываемой двумерным волновым уравнением // Изв. РАН. ТиСУ. 2019. № 1. С. 109–116.
  6. Гавриков А.А., Костин Г.В. Изгибные колебания упругого стержня, управляемого пьезоэлектрическими силами // ПММ. 2023. Т. 87. № 5. С. 801–819.
  7. IEEE Standard on Piezoelectricity // ANSI/IEEE Std 176-1987. 1988. https://doi.org/10.1109/IEEESTD.1988.79638
  8. Kucuk I., Sadek I., Yilmaz Y. Optimal control of a distributed parameter system with applications to beam vibrations using piezoelectric actuators // J. Franklin Inst. 2014. V. 351. № 2. P. 656–666.
  9. Kostin G.V., Saurin V.V. Dynamics of Solid Structures. Methods Using Integrodifferential Relations. Berlin: De Gruyter, 2018.
  10. Kostin G., Gavrikov A. Controllability and optimal control design for an elastic rod actuated by piezoelements // IFAC-PapersOnLine. 2022. V. 55. № 16. P. 350–355. https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2022.09.049
  11. Гавриков А.А., Костин Г.В. Оптимизация продольных движений упругого стержня с помощью периодически распределенных пьезоэлектрических сил // Изв. РАН. ТиСУ. 2023. № 6. С. 93–109.
  12. Kostin G., Gavrikov A. Modeling and optimal control of longitudinal motions for an elastic rod with distributed forces // ArXiv. 2022. arXiv:2206.06139 5. P. 1–11. https://doi.org/10.48550/arXiv.2206.06139
  13. Gavrikov A., Kostin G. Optimal LQR control for longitudinal vibrations of an elastic rod actuated by distributed and boundary forces // Mech.&Machine Sci. V. 125. 2023. P. 285–295. https://doi.org/10.1007/978-3-031-15758-5_28
  14. Ho L.F. Exact controllability of the one-dimensional wave equation with locally distributed control // SIAM J. Control Optim. 1990. V. 28. № 3. P. 733–748.
  15. Bruant I., Coffignal G., Lene F., Verge M. A methodology for determination of piezoelectric actuator and sensor location on beam structures // J. Sound&Vibr. 2001. V. 243. № 5. P. 861–882. https://doi.org/10.1006/jsvi.2000.3448
  16. Gupta V., Sharma M., Thakur N. Optimization criteria for optimal placement of piezoelectric sensors and actuators on a smart structure: A technical review // J. Intell. Mater. Syst.&Struct. 2010. V. 21. № 12. P. 1227–1243. https://doi.org/10.1177/1045389X10381659
  17. Botta F., Rossi A., Belfiore N.P. A novel method to fully suppress single and bi-modal excitations due to the support vibration by means of piezoelectric actuators // J. Sound&Vibr. 2021. V. 510. № 13. P. 116260. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2021.116260
  18. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 735 с.
  19. Михлин С.Г. Курс математической физики. М.: Наука, 1968. 576 с.
  20. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1968. 624 с.

Дополнительные файлы

Доп. файлы
Действие
1. JATS XML
Скачать
2. Рис. 1. Схема стержня с управляющим элементом

Скачать (28KB)
Метаданные
3. Рис. 2. Сетка в пространственно-временной области D для nx = 4

Скачать (213KB)
Метаданные
4. Рис. 3. Управление u*(t) для λ = 1/4: x- = 0 (сплошная кривая), x- =1/4 (штриховая), x- =1/2 (штрихпунктирная), x- = 3/4 (пунктирная).

Скачать (64KB)
Метаданные
5. Рис. 4. Сила f (t ,188) для x- = 0 и λ =1/4: точное решение (сплошная кривая) и 8-модовое приближение (штриховая кривая).

Скачать (64KB)
Метаданные
6. Рис. 5. Распределение динамического потенциала r(t, x) при критическом управлении для x- = 0 и λ =1/4

Скачать (77KB)
Метаданные
7. Рис. 6. Распределение упругих перемещений v(t, x) при критическом управлении для x- = 0 и λ =1/4

Скачать (82KB)
Метаданные

© Российская академия наук, 2024