Том 63, № 11 (2023)

Рассматриваются интегралы типа Эйлера и тесно связанная с ними функция Лауричеллы \(F_{D}^{{(N)}}\), являющаяся гипергеометрической функцией многих комплексных переменных \({{z}_{1}}, \ldots ,{{z}_{N}}\). Для функции \(F_{D}^{{(N)}}\) найдены новые формулы аналитического продолжения, позволяющие представить ее в виде гипергеометрических рядов Горна, экспоненциально сходящихся в соответствующих подобластях \({{\mathbb{C}}^{N}}\), в том числе вблизи гиперплоскостей, имеющих вид \(\{ {{z}_{j}} = {{z}_{l}}\} \), \(j,l = \overline {1,N} \), \(j \ne l\). Совокупность найденных в работе формул продолжения и тождеств для \(F_{D}^{{(N)}}\) дает эффективный аппарат для вычисления этой функции и выражаемых через нее интегралов типа Эйлера во всем комплексном пространстве \({{\mathbb{C}}^{N}}\), включая сложные случаи, когда переменные образуют одну или несколько групп очень близких величин. Представлено приложение полученных результатов к решению проблемы параметров интеграла Кристоффеля–Шварца в ситуации “кроудинга” и построению конформных отображений многоугольников. Библ. 45. Фиг. 3.

Метод малого параметра позволяет строить решения дифференциальных уравнений в виде степенных рядов и получил большое распространение в математической физике. В большинстве случаев эти ряды являются асимптотически сходящимися. Целью настоящей работы является нахождение условий обычной сходимости рядов по степеням малого параметра, представляющих решения задач теории возмущений. Библ. 17.

Нижние оценки точности столбцовых аппроксимаций матриц. Показана связь между нижними и верхними оценками точности столбцовых аппроксимаций матриц и границами для норм псевдообращения подматриц ортогональных матриц. Эта связь используется для вывода нижних оценок точности столбцовых аппроксимаций в спектральной норме и норме Фробениуса.

Рассматривается класс задач оптимального управления для нелинейной параболико-эллиптической системы, моделирующей радиационный теплообмен с френелевскими условиями сопряжения на поверхностях разрыва коэффициента преломления. Получены новые оценки решения начально-краевой задачи, на основе которых доказана разрешимость задач оптимального управления. Представлен вывод невырожденных условий оптимальности первого порядка. В качестве примеров рассмотрены задачи управления с финальным, граничным и распределенным наблюдениями. Библ. 23.

Рассматриваются разностные схемы с оптимальными параметрами для решения уравнений Максвелла. Используя преобразования Лагерра, определяются численные значения оптимальных параметров и строятся дифференциально-разностные уравнения. Дифференциально-разностные уравнения решаются конечно-разностным методом с итерациями по малым оптимальным параметрам. Рассмотрены оптимальные разностные схемы 2-го порядка для одномерных и двумерных уравнений Максвелла. Приведены оптимальные параметры разностных схем. Показано, что использование оптимальных разностных схем ведет к повышению точности решения уравнений. Библ. 18. Фиг. 2. Табл. 1.

Работа посвящена изучению одного неклассического уравнения в частных производных четвертого порядка, описывающего взрывную неустойчивость в автоколебательных системах. Построено несколько классов точных решений этого уравнения. Показано, что среди этих решений есть обращающиеся в бесконечность за конечное время, ограниченные глобально по времени и ограниченные на любом конечном промежутке времени, но не глобально. Библ. 11.

Колебания балки с учетом эффектов деформации в поперечном направлении моделируются нелинейным дифференциальным уравнением соболевского типа, для которого исследуется задача Коши в пространстве непрерывных функций. Рассмотрены условия разрушения решения задачи Коши на конечном временном отрезке. Библ. 10.

Рассматриваются бездиссипативные и слабодиссипативные структуры разрывов. Для этого используется специальный метод численного анализа для исследования периодических волн. Исследуется расположение ветвей периодических решений. Уединенные волны и структуры бездиссипативных разрывов ищутся как предельные решения. Обнаружено, что помимо резонанса длинных альвеновских волн с короткими быстрыми и медленными магнитозвуковыми волнами встречается и резонанс с длинными волнами, приводящий к появлению уединенных волн и структур разрывов гибридного типа. Сделаны расчеты уравнений в частных производных для выяснения, наблюдаются ли найденные структуры. Библ. 17. Фиг. 7.

Подход к реализации многосеточного метода c полной аппроксимацией для задач газовой динамики. Статья посвящена использованию многосеточного метода для ускорения расчетов сжимаемых течений в стационарной постановке на неструктурированных сетках. Используется многосеточный метод с построением полной аппроксимации для каждого сеточного уровня (FAS MG – Full Approximation Scheme Multigrid). Такой метод в случае неструктурированной сетки может вызывать сложности, связанные как с построением сеточных уровней и операторов перехода между ними, так и с программной реализацией в существующем расчетном коде. В программе требуется иметь дело сразу с несколькими разными дискретизациями. Если изначально вся структура данных, включающая массивы с сеточными данными, топологию, данные интегрирования по времени, спроектирована для работы на одной сетке, то внедрение FAS MG может превратиться в катастрофу, сопряженную с переписыванием всего кода. Целью данной работы является получение многократного ускорения расчета ценой минимальных усилий. Решается проблема реализации многосеточного метода на базе существующего программного комплекса, не предназначенного для работы с несколькими сеточными уровнями. Внедрение многосеточного метода в MPI-параллельный код осуществляется таким образом, что вообще не нужно переделывать программу для работы с несколькими сетками. Также избегаются сложности с построением сеточных уровней для неструктурированной сетки, не используется агломерация ячеек, не увеличивается количество граней у ячеек на грубых уровнях. В данной статье описывается, как даже в устаревшем с точки зрения программной архитектуры коде развернуть FAS MG в кратчайшие сроки.

Рассматривается задача обтекания удлиненного гладкого контура под свободной поверхностью жидкости. Жидкость идеальная несжимаемая весомая. Критические точки разветвления и схода потока находятся на контуре. Задаются погружение контура и его длина. Используется гипотеза о близости модуля скорости на свободной поверхности к его значению в невозмущеном потоке. Применяется нелинейное приближенное выражение интеграла Бернулли на свободной поверхности, связанное с логарифмированием. Используются две вспомогательные плоскости, в которых область течения представляет полуплоскость с исключенным кругом и кольцевую область. Комплексный потенциал определяется в первой параметрической плоскости с использованием конформного отображения на кольцевую область. Выведена система уравнений для нахождения определяющих параметров, для решения которой применяется минимизация функционала и используется метод итераций по двум комплексам параметров. Разработаны алгоритм и программа решения системы. Проведены расчеты гидродинамических характеристик конкретного профиля. Проанализированы результаты для коэффициентов волнового сопротивления, подъемной силы, момента и положения центра контура в зависимости от числа Фруда и циркуляции разного знака. Приведены примеры расчетов нелинейных волн, образующихся на свободной поверхности при значительных числах Фруда. Библ. 9. Фиг. 9.